第10关：3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母

如果方程中不仅有未知数，还包含了括号、甚至复杂的各级分数分母，该怎么办？别慌！今天我们要把解方程的武功秘籍彻底学全。掌握了这套**“五步神功”**，初中阶段所有的线性方程在你面前都将不堪一击！

一、招式进阶一：去括号（以教材为准）

课本第 93 页给出了经典的工艺品缝制情境，通过列出带括号的方程：

2(x + 2.5) = 3(x - 1.5)

此时，我们需要先利用乘法分配律去括号：

2x + 5 = 3x - 4.5

然后再移项、合并同类项、系数化为 1。

去括号要诀：

仔细看括号前的正负号（负号变号！）；

括号外有数字因数时，必须“雨露均沾”乘到括号里的每一项。

很多同学看到分数就头大。其实，我们可以直接运用等式性质 2，在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数，瞬间把所有分数通通消灭成清清爽爽的整数！

生死关卡 1：不含分母的项绝对不能漏乘！
方程两边每一项都必须乘公倍数。像整数项 $1$ 、 $-2$ ，虽然没有分母，但也必须乘上最小公倍数！
生死关卡 2：分数线具有括号的作用！
当分数的分子是多项式时，分数线实际上是一道天然的括号。去掉分母后，必须把原来的分子整体用小括号括起来！尤其是分数线前面带减号时，如果不加括号，必然导致变号大错！

无论多么庞大复杂的方程，按这五步操作，步步清晰明了：

步骤	具体操作与数学依据	最核心注意事项
1. 去分母	方程两边同乘各分母的最小公倍数（依据：等式性质 2）	① 不含分母的整数项绝对不能漏乘！ ② 分子是多项式时，必须当成整体加括号！
2. 去括号	按乘法分配律和去括号法则展开（依据：分配律）	括号前是负数时，各项符号全部反转；数字因数乘遍每一项。
3. 移项	把含未知数的项移到左边，常数项移到右边（依据：等式性质 1）	跨越等号必须变号！未移动的项保持原样。
4. 合并同类项	把方程化为标准形式 $ax = b$ （依据：合并同类项法则）	字母与指数不变，只加减系数。
5. 系数化为 1	两边同除以 $a$ （ $a \ne 0$ ），得到 $x = \frac{b}{a}$ （依据：等式性质 2）	永远用常数除以系数，谨防颠倒！

解下列方程：

\frac{3x + 1}{2} - 1 = \frac{3x - 2}{10} - \frac{2x + 3}{5}

【超规范完整解题示范】

第一步：去分母
方程中分母有 2, 10, 5，它们的最小公倍数是 10。
方程两边各项同时乘 10：
注意：中间的 $-1$ 必须乘 10；每一部分的分子必须加上括号！ $5(3x + 1) - 10 = (3x - 2) - 2(2x + 3)$
第二步：去括号 $15x + 5 - 10 = 3x - 2 - 4x - 6$
第三步：移项
把含 $x$ 的项移到左边，常数项移到右边（跨等号变号）： $15x - 3x + 4x = -2 - 6 - 5 + 10$
第四步：合并同类项
左边： $(15 - 3 + 4)x = 16x$
右边： $-8 - 5 + 10 = -3$ $16x = -3$
第五步：系数化为 1
两边同除以 16，得： $x = -\frac{3}{16}$

去分母时，整数项漏乘公分母（第一号陷阱）：
- 上面例题中，很多同学第一步写出 $5(3x + 1) - 1 = \dots$ ，把中间的 $-1$ 漏乘了 10！
- 警钟长鸣：等式性质 2 要求“两边同乘”，两边的每一项都有份，谁都不能漏！
分数线去掉后分子未加括号导致符号灾难（第二号陷阱）：
- 在处理 $-\frac{2x + 3}{5}$ 时，乘 10 后变成 $-2(2x + 3) = -4x - 6$ 。很多同学漏写括号直接写成 $-4x + 3$ ，结果后面的 $+3$ 没有跟着变号！
去括号时漏乘项：
- $5(3x + 1)$ 误写为 $15x + 1$ 。一定要像分发糖果一样，5 既要乘 $3x$ ，也要乘 $1$ ！

对应哪一节：人教版七年级上册第三章第 3 节《3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母》（教材第 93 页至第 99 页）。
在家看孩子做哪一类题：让孩子做教材第 98 页习题第 3 题中的带分母方程综合题（如 $\frac{x-1}{4} - 1 = \frac{2x+1}{6}$ $\frac{x - 1}{4} - 1 = \frac{2 x + 1}{6}$ ）。在孩子动笔第一步时仔细核查两件事：
1. 没有分母的“ $-1$ ”有没有乘上公倍数 12？
2. 分子写下来的时候，有没有整整齐齐地套上一副小括号？
怎样算学完：孩子能熟练背出并执行“解方程五步法”；做带分母和括号的综合大题，去分母漏乘率为 0、变号错误率为 0，解题书写规范整洁。