第4关：1.4 有理数的乘除法

在加减法中，我们体会了“先看符号、再算绝对值”。到了乘除法，规律更加优美整齐，但也有一些隐蔽的“数学地雷”在等着粗心的同学。

一、核心法则与运算律（以教材为准）

两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
- 同号得正： $(+2) \times (+3) = +6$ ， $(-2) \times (-3) = +6$ 。
- 异号得负： $(-2) \times (+3) = -6$ ， $(+2) \times (-3) = -6$ 。
任何数与 0 相乘，都得 0：
例如： $(-5) \times 0 = 0$ 。

教材归纳了多个不等于 0 的数相乘的积的符号规律：

例如：

倒数的定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。
若 $a \times b = 1$ ，则 $a$ 与 $b$ 互为倒数。数 $a$ （ $a \ne 0$ ）的倒数是 $\frac{1}{a}$ 。
特别提醒：0 没有倒数！ 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（如 $-\frac{2}{3}$ 的倒数是 $-\frac{3}{2}$ ，注意符号不变！）。
有理数除法法则：
1. 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数：

a \div b = a \cdot \frac{1}{b} \quad (b \ne 0)

特别提醒：分配律不仅可以正向展开，还可以逆向提取公因数： $ab + ac = a(b + c)$ 。

用简便方法计算：

\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right) \times (-12)

【解题思路与规范解答】 利用乘法分配律，把括号外的因数分别乘括号里的每一项：

\text{原式} = \frac{1}{4} \times (-12) - \frac{1}{6} \times (-12) + \frac{1}{2} \times (-12)

注意每一项的符号判定：

综合计算：

-3 + 2 - 6 = -7

惊天巨坑：除法当成乘法用“分配律”：
- ❌ 致命错误： $12 \div (3 + 4) = 12 \div 3 + 12 \div 4 = 4 + 3 = 7$ 。
- 剖析纠错：除法绝对没有分配律！ $12 \div 7 = \frac{12}{7} \approx 1.71$ ，怎么可能等于 7？乘法分配律是“数乘和”，除法只有在被除数是和的时候才能分别除（即 $(a + b) \div c = a \div c + b \div c$ ），除数是多项时必须先算出除数！
带分数乘除法没有先化为假分数：
- ❌ 错误做法： $-3\frac{1}{2} \times 2 = -6\frac{1}{2}$ （误以为只把整数部分乘 2）。
- 正确做法：带分数参与乘除，必须第一步化成假分数！ $-3\frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$ ，所以 $-\frac{7}{2} \times 2 = -7$ 。
同级乘除混合运算随意颠倒顺序：
- ❌ 错误计算： $8 \div 4 \times 2 = 8 \div 8 = 1$ 。
- 正确顺序：同级运算必须从左往右依次计算，或者全部化为乘法再运用交换律！ $8 \div 4 \times 2 = 2 \times 2 = 4$ 。
求负数的倒数把符号搞丢了：
- 误以为 $-5$ 的倒数是 $\frac{1}{5}$ 。记住：互为倒数乘积必须是 $+1$ ！所以 $-5$ 的倒数一定是 $-\frac{1}{5}$ 。

对应哪一节：人教版七年级上册第一章第 4 节《1.4 有理数的乘除法》（教材第 28 页至第 40 页）。
在家看孩子做哪一类题：让孩子做教材第 38 页练习第 2 题与第 39 页习题第 7 题（带分数乘除混合与分配律展开题）：特别出一道辨析题考孩子：“ $18 \div (-2 + 3)$ 能不能写成 $18 \div (-2) + 18 \div 3$ ？” 看孩子能否果断回答“不能”并讲清道理。
怎样算学完：孩子做多个有理数连乘除时，能一眼数出负号个数判断最终符号（奇负偶正）；能熟练把带分数化为假分数进行运算；坚决不犯“除法分配律”的原则性错误。